4 - Fourier sorok

Fourier sor deriváltja

Tegyük fel, hogy $f$ $\pi$ periodikus, differenciálható. Ekkor $f\sim {\sum }_{k=1}^{\infty }(-a_{k}k\cdot \sin (kx)+b_{k}k\cdot \cos (kx))$

Bizonyítás

$f^{\prime }\sim \frac{{\alpha }_0}{2}+{\sum }_{k=1}^{\infty }({\alpha }_k\cos (kx)+{\beta }_k\sin (kx),$ ahol ${\alpha }_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^{\prime }(x)dx$.

Következmény

Igaz a tétel akkor is, ha $f$ véges sok első fajú szakadással rendelkezik, véges sok helyen nem differenciálható.

Fourier sorok alaptétele ¹

Tegyük fel, hogy $f$ $2\pi$ periódikus, és $[-\pi ,\pi ]$-ben,

1. szakaszosan folytonos
2. végesen sok elsőfajú szakadással rendelkezik
3. ha $x_0$-ban szakadás van, akkor a függvényérték: $f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$ Ekkor: $f(x)=\text{Fourier Sor}(x)\forall x$-re.

Parseval egyenlőség (Együtthatók nagyságrendje) ²

A Fourier együtthatókra teljesül az alábbi egyenlőség: $\frac{a_0^2}{2}+{\sum }_{k=1}^{\infty }(a_k^2+b_k^2)=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}^2(x)dx.$

Számsík

Két valós szám által alkotott számsík. ${\mathbb{R}}^2$

Számhármasok

Három valós szám által alkotott számhármas. ${\mathbb{R}}^3$

Szám n-esek

${\mathbb{R}}^n$

Kétváltozós függvény ³

Adott $S\subset {\mathbb{R}}^2$ tartomány. $f:S\to \mathbb{R}$ kétváltozós függvény, amely az $S$ számsík elemeihez rendel egy valós számot. Értelmezési tartománya $D_f$, értékkészlete $R_f$.

Példa

$f(x,y)=ax+by+c$

Független változók

$(x,y)$

Függő változó

$u$

Szintvonalak ⁴

Rögzített $k\in \mathbb{R}$ mellett ábrázoljuk az $(x,y)$ pontokat, melyekre $f(x,y)=k$.

Úgy kell elképzelni, mint a topográfiai térképeket.

---

todo

• Fourier sorok 
• Pontsorozat 
• Konvergencia 
• Pontok távolsága, tartománya 
• Descartes koordináta 
• Polar koordináta

Footnotes

1. Analízis 2. Jegyzet: 23. oldal ↩

2. Analízis 2. Jegyzet: 25. oldal ↩

3. Analízis 2. Jegyzet: 36. oldal ↩

4. Analízis 2. Jegyzet: 38. ↩