8 - Deriválási szabályok

Állítás

Ha $f_x^{\prime }$ és $f_y^{\prime }$ függvények folytonosak, akkor az $f$ függvény differenciálható.

Lánc szabály

Egy paraméternél

$(f\circ g{)}^{\prime }=f^{\prime }\circ g\cdot g^{\prime }$

Két paraméternél

1. eset $f=f(u)$ $u=g(x,y)$ $F(x,y)=f(g(x,y))$ $F_x^{\prime }=f^{\prime }(g(x,y))\cdot g_x^{\prime }(x,y)$ $F_y^{\prime }=f^{\prime }(g(x,y))\cdot g_y^{\prime }(x,y)$ $\frac{\delta F}{\delta x}=\frac{df}{du}\cdot \frac{\delta u}{\delta x}$

Példa

$f(u)=u^2$ $g(x,y)=\sin (xy)$ $F(x,y)=\sin (xy{)}^2$ $F_x^{\prime }=2\sin (xy)\cdot y$ $F_y^{\prime }=2\sin (xy)\cdot x$

2. eset $f(x,y)$ $x=x(t)$ $y=y(t)$ $F(x)=f(x(t),y(t))$ $F^{\prime }(t)=f_x^{\prime }\cdot x^{\prime }(t)+f_y^{\prime }\cdot y^{\prime }(t)$
3. eset $f(u,v)$ $u=\varphi (x,y)$ $v=\psi (x,y)$ $F(x,y)=f(\varphi (x,y),\psi (x,y))$ $F_x^{\prime }(x,y)=f_u^{\prime }\cdot {\varphi }_x^{\prime }+f_v^{\prime }\cdot {\psi }_x^{\prime }$

Szélsőérték számítás

Adott $f:S\to \mathbb{R}$ függvény. Az $(x_0,y_0)$ pont lokális minimum érték, ha $\exists u\subset S$ környezet, amire $f(x,y)\ge f(x_0,y_0)\forall (x,y)\in u$ Az $(x_0,y_0)$ pont lokális maximum érték, ha $\exists u\subset S$ környezet, amire $f(x,y)\ge f(x_0,y_0)\forall (x,y)\in u$ Az $(x_0,y_0)$ pont globális minimum érték, ha $\exists u\subset S$ környezet, amire $f(x,y)\ge f(x_0,y_0)\forall (x,y)\in S$ Az $(x_0,y_0)$ pont globális maximum érték, ha $\exists u\subset S$ környezet, amire $f(x,y)\ge f(x_0,y_0)\forall (x,y)\in S$