Teljes függvény vizsgálat

Egy adott függvény ábrázolása (transzformációs lépések nélkül).

Lépések:

1. Értelmezési tartomány ($D_f$)

Kikötések alapján meghatározzuk mi nem lehet az $x$.

• logaritmus: ${\log }_{a}ba,b\le 0a\ne 1$
• tört: $\frac{a}{b}b\ne 0$
• gyök: $\sqrt{a}0\le a$ (páros gyök esetén)

2. Folytonosság, szimmetriatulajdonságok (paritás)

Páros

Ha $f(-x)=f(x)\forall x\in D_f$ teljesül.

Páratlan

Ha $f(-x)=-f(x)\forall x\in D_f$ teljesül

3. Határérték, zérushely

Fontos

Amennyiben van szakadás, a szakadás mindkét oldalán meg kell vizsgálni a határértékeket!

Zérushelyek meghatározása

$f(x)=0$ Érdemes a tagokat szorzattá alakítani kiemeléssel.

Info

• Egy szorzat akkor $0$, ha valamelyik tényezője $0$.
• Egy tört akkor $0$, ha a számlálója $0$.

4. Monotonitás

A monotonitást az elsőrendű derivált zérushelyei, és a szakadási pontok alapján vizsgáljuk. A megkapott eredményeket ($+,-,0$) táblázatban ábrázoljuk.

Fontos

Amennyiben van szakadás, a szakadás mindkét oldalán meg kell vizsgálni a monotonitást!

5. Szélsőérték

6. Konvexitás

7. Inflexió

Inflexiós pont keresése. $f^{\prime \prime }(x)=0$

8. Ábrázolás

Az alábbi pontok alapján a függvény ábrázolása egy koordináta rendszerben.

9. Értékkészlet ($R_f$)

A fenti pontok, és az ábra alapján az értékkészlet meghatározása.

Teljes függvény vizsgálatos feladatok:

• 05 HF.png
• Példatár 54. oldal

Ismétlés

Mik a teljes függvényvizsgálat lépései?

1. Értelmezési tartomány
2. Folytonosság, paritás
3. Határérték, zérushely
4. Monotonitás
5. Szélsőérték
6. Konvexitás
7. Inflexió
8. Ábrázolás
9. Értékkészlet

Párosság (szimmetriatulajdonság) matematikailag

$f(x)=f(-x)$

Páratlanság (szimmetriatulajdonság) matematikailag

$f(-x)=-f(x)$