Határérték

Alap koncepciók

Határozott határérték

Határozatlan / Kritikus határérték

Olyan esetek, amikor nem tudjuk eldönteni a határértéket. Például: $1^{\infty }$, $\infty -\infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $0\cdot \infty$, … Ilyenkor a határozatlan határértéket tovább kell vizsgálni, ezekre az alábbi módszereket használjuk:

Legnagyobb $n$-es tag kiemelése

Tört esetén a számlálóban és a nevezőben is kiemeljük a legnagyobb $n$-es tagot, majd ezekkel leegyszerűsítve megkapjuk a határértéket.

Gyöktelenítés

Visszavezetés $e$-re

Euler-féle szám

$e={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$

Példák:

$a_n=(1+\frac{3}{n}{)}^n$

${\lim }_{n\to \infty }(a_n)={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{3}{n}{)}^n={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{3}{n}{)}^{\frac{n}{3}\cdot \frac{3}{n}\cdot n}=e^{{\lim }_{n\to \infty }\frac{3}{n}\cdot n}=e^3$

L’Hôpital szabály

Kiejtés: “Lopitál” A $\frac{\infty }{\infty }$ és $\frac{0}{0}$ alakú határozatlan határértékekből képezhetünk vele határozott határértéket. ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Info

Megeshet, hogy többször is alkalmaznunk kell a szabályt, hogy határozott határértéket kapjunk.

Fontos

Ez a szabály csak $\frac{\infty }{\infty }$ és $\frac{0}{0}$ alakú határozatlan határértékeknél alkalmazható!

![[05 - Függvények 3.#Nevezetes határértékek [ 4]]

Küszöbindex számítás

Egy $a_n$ sorozatnál a küszöbindex számítással határozzuk meg az első $n$ számot, ami után minden eleme a sorozatnak a megadott $\epsilon$ határon belül van az $A$ határértékhez, feltéve hogy a sorozat konvergens.

1. lépés: Határérték kiszámolása
2. lépés: Abbahagyjuk, ha divergens
3. lépés: $|a_n-A|<\epsilon$ egyenlőtlenség megoldása $n$-re

Típushiba

Az $|a_n-A|<\epsilon$ egyenlőtlenség megoldása nem megoldás. A küszöbindex az első olyan $n$-edik elem amin a definícióban említett tulajdonság érvényesül, ezért:

• csak fölfelé kerekítünk
• $n\in \mathbb{N}$

Határértékes feladatok

Ismétlés

Mi $\frac{1}{x^n}$ határértéke $x\to \infty$-ben?

${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x_n}=0^{+}n\in \mathbb{N}$

Mi $\frac{1}{x^n}$ határértéke $x\to -\infty$-ben?

${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x_n}=0^{-}n\in \mathbb{N}$

Mi az Euler-féle szám?

$e=\lim (1-\frac{1}{n}{)}^n$

L'Hopital szabály pár szóban.

Határozatlan határértékből határozottat képzünk, ha az $\frac{0}{0}$, vagy $\frac{\infty }{\infty }$ alakú. ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}{f}^{\prime }(x)$