08 - Integrálás 1.

Felosztás ¹

Erre kíváncsi: $F=\{x_0=a<x_1<...<x_n=b\}$

---

$m_k=\inf \{f(x),x\in [x_{k-1},x_k]\}$ $s_n={\sum }_{k=1}^n{n}_k\Delta x_k\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$ $M_k=\sup \{f(x),[x_{k-1},x_k]\}$ $S_n={\sum }_{k=1}^n{M}_k\Delta x_k\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$ Állítás: $s_n\le S_n$ $F(\text{valami})=F^{\prime }$ $s_n\le s_n^{\prime }{S}_n\le S_n^{\prime }$ $\forall F\text{ eˊs }{F}^{\prime }$ $s(F)\le S(F^{\prime })$ $\sup s(F)=s\le \inf S(F)=S$

Felosztás finomsága ²

A leghosszabb részintervallum hossza: $\delta (F)=\max \{x_k-x_{k-1}:k=1,\dots ,n\}.$

Előjeles terület, Riemann integrál, Határozott integrál

Riemann integrálható

$\text{R}[a,b]=\{f:[a,b]\to \mathbb{R}\text{integraˊlhatoˊ}\}$

Riemann összeg ³

$\sigma (F)={\sum }_{k=1}^{n}f({\epsilon }_k)\Delta x_k,$ ahol ${\epsilon }_k\in [x_{k-1},x_k]$ tetszőleges pont az intervallumban.

Riemann állandó

Dirichlet függvény [^6]

Newton-Leibniz tétel ⁴

Legyen $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ függvény, tegyük fel,

• korlátos
• integrálható
• $\exists F$ folytonos
• $F^{\prime }(x)=f(x)\exists x\in (a,b)$ ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ Jelölés: ${\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b$

Elégséges feltétel integrálásra ⁵

• Ha $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ folytonos
• Ha $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ korlátos és monoton
• Ha $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ korlátos és folytonos, kivéve véges sokszor

Alaptulajdonságok

Additív tulajdonság $a<b<c:{\int }_a^c={\int }_a^b+{\int }_b^c$ Lineáris tulajdonság $\int c\cdot f(x)dx=c\cdot \int f(x)dx$ Monoton tulajdonság $\int f^{\prime }(\phi (x))\cdot {\phi }^{\prime }(x)dx=f(\phi (x))+cc\in \mathbb{R}$

Footnotes

1. Analízis 1. Jegyzet 131. oldal ↩

2. Analízis 1. Jegyzet 132. oldal ↩

3. Analízis 1. Jegyzet 135. oldal ↩

4. Analízis 1. Jegyzet 137. oldal ↩

5. Analízis 1. Jegyzet 136. oldal ↩