07 - Függvények 5.

Görbületek¹

Konvex

$f:I⟹\mathbb{R}$, konvex, ha minden $x_1<x_2\in [a,b]$ esetén $f((1-t)x_1+x_2)\le (1-t)f(x_1)+tf(x_2)t\in [0,1].$ Másszóval:

• A függvény bármely két pontját ha összekötjük, a szakaszuk a függvény fölött lesz.

Konvex függvény deriváltja

Mindig monoton növő.

Konkáv

$f$ függvény konkáv, ha $-f$ konvex az adott intervallumon.

Más szóval:

• A függvény bármely két pontját ha összekötjük, a szakaszuk a függvény alatt lesz.

Konkáv függvény deriváltja

Mindig monoton csökkenő.

Inflexiós pont

$x_0\in D_f$ inflexiós pont, ha ebben a pontban vált a függvény konvexből konkávba vagy fordítva. $f^{\prime \prime }(x_0)=0$

Integrálszámítás

Integrálszámítás I. alaptétele²

Legyen $f,g:(a,b)\to \mathbb{R}$ olyan differenciálható függvények, melyekre $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ teljesül minden $x\in (a,b)$-re. Ekkor $\exists c\in \mathbb{R}$, melyre $f(x)=g(x)+c\forall x\in (a,b).$

Primitív függvény³

Adott $f:I\to \mathbb{R}$, ahol $I\subset \mathbb{R}$. Az $F:I\to \mathbb{R}$ függvény $f$ primitívfüggvénye, ha $F^{\prime }(x)=f(x)\forall x\in I.$

Határozatlan integrál⁴

A primitív függvények halmaza a határozatlan integrál. $\int f(x)dx=\{H:I⟹\mathbb{R}|H^{\prime }(x)=f(x)\}=\{F+c:c\in \mathbb{R}\},$ ahol $F:I⟹R$ tetszőleges primitív függvény. Informálisan: $\frac{dF(x)}{dx}=f(x)\Rightarrow dF(x)=f(x)dx$

Footnotes

1. Analízis 1. Jegyzet 124. oldal ↩

2. Analízis 1. Jegyzet 121. oldal ↩

3. Analízis 1. Jegyzet 128. oldal ↩

4. Analízis 1. Jegyzet 129. oldal ↩