04 - Függvények 2.

Folytonosság ¹

Egy adott $f$ függvény ($f:D\to \mathbb{R}$) folytonos, ha minden tetszőleges $x_0$ pontra teljesül, hogy $\forall x\in D,|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon .$

Magyarázásképp:

Ha a függvény folytonos, minden egymáshoz közeli $x$ értékhez egymáshoz közeli $y$ érték kell hogy tartozzon.

Sorozatfolytonosság ²

Az $f$ függvény [[03 - Számsorozatok 2. és Függvények 1.#Értelmezési tartomány [ 4]|értelmezési tartomány]]ának ($D_f$) egy $x_0$ pontjában sorozatfojtonos, ha $\forall (x_n)\subset D_f$ sorozatra, melyre ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0\text{,}\text{teljesu¨l, hogy}$ ${\lim }_{x\to \infty }f(x_n)=f(x_0).$

• Ekvivalens a [[#Folytonosság [ 1]|folytonosság]]gal (bizonyítás az Analízis 1. Jegyzet 72. oldalán)

Függvény határérték ³

Adott $f$ függvény és $x_0\in \mathbb{R}$. Tegyük fel, hogy van olyan $U=(x_0-r,x_0+r)$ környezet, melyre $x_0$ kivételével minden eleme benne van az $f$ függvény értékkészletében. Más szóval: $x_0\in \mathbb{R}\exists U=(x_0-r,x_0+r)\forall x\in U\backslash \{x_0\}x\in D_f.$ Az $f$ függvény határértéke $A$, ha minden $\epsilon$ nagyobb nullánál, és minden $\epsilon$-hoz létezik $\delta$, ami nagyobb mint nulla, melyekre $0<|x-x_0|<\delta ,x\in D\Rightarrow |f(x)-A|<\epsilon$ ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$

Baloldali határérték

$f$ baloldali határértéke $x_0$-ban $a\in \mathbb{R}$, ha minden $\epsilon >0$-hoz létezik $\delta >0$, melyre $x\in D_f{x}_0-\delta <x<x_0\Rightarrow |f(x)-a|<\epsilon .$ Jelölés: ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=a$

Jobboldali határérték

$x\in D_f{x}_0<x<x_0-\delta \Rightarrow |f(x)-a|<\epsilon .$Jelölés: ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=a$

Határérték tulajdonságok ⁴

Tegyük fel, hogy ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\alpha$, ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=\beta$. Ekkor

1. ${\lim }_{x\to x_0}cf(x)=c\alpha c\in \mathbb{R}$
2. ${\lim }_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=\alpha +\beta$
3. ${\lim }_{x\to x_0}(f(x)g(x))=\alpha \beta$

Tegyük fel, hogy ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=\alpha$, ${\lim }_{x\to \alpha }f(x)=\beta$. Ekkor ${\lim }_{x\to x_0}f(g(x))=\beta$

Nevezetes függvény határértékek

${\lim }_{x\to \infty }{x}^{\frac{1}{x}}=1$ ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{a}{1})=e^a$ ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^x=e$ ${\lim }_{x\to \infty }x\sin \frac{1}{x}=1$

Footnotes

1. Analízis 1. Jegyzet 70. oldal ↩

2. Analízis 1. Jegyzet 72. oldal ↩

3. Analízis 1. Jegyzet 74. oldal ↩

4. Analízis 1. Jegyzet 79. oldal ↩