1 - Számsorok

Ismétlés

Végtelen számsorozat megoldása

${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+\dots ={\lim }_{n\to \infty }{S}_n$ $S_n={\sum }_a^1{a}_a$

![[13 - Végtelen összeg#Konvergens [ 2|Konvergens]]

![[13 - Végtelen összeg#Divergencia teszt [ 5#|Divergencia teszt]]

Új

Abszolút konvergens ¹

Egy $a_n$ végtelen számsorozat abszolút konvergens, ha ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|<\infty .$

Alternáló sor [^alternalo-sor]

$(\sum a_n)$ alternáló sor, váltakozó előjelű, ha $a_n\cdot a_{n+1}<0\forall n\in \mathbb{N}.$

Például

${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots$ ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\cdot \frac{n}{n+1}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}+\dots$

Leibniz sor

$(a_n)$ Leibniz sor, ha

• [[#Alternáló sor [ alternalo-sor]|Alternáló sor]], vagyis $a_n\cdot a_{n+1}<0$,
• $(a_n)$ null sorozat,
• $(|a_n|)$ monoton csökkenő.

Tétel

Ha $(\sum a_n)$ Leibniz sor, akkor konvergens.

Bizonyítás: Tegyük fel, $a_1>0\Rightarrow a_2>0,a_3>0$ ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}{b}_n>0$

Feltételesen konvergens ²

$(\sum a_n)$ feltételesen konvergens, ha

• ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n<\infty$
• ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|=\infty$. Másszóval: $({\sum }_{n=1}^{\infty })$ feltételesen konvergens, ha konvergens, de nem abszolút konvergens.

Hibabecslés

Tegyük fel, $(\sum a_n)$ Leibniz sor. Ekkor $|s-s_n|<|a_{n+1}|.$

Példa

${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\dots$ Hány tag kell, hogy az összeg 2 tizedesjegyig jó legyen? $|s-s_n|<10^{-2}$

Taylor polinom

Elsőfokú / rendű Taylor polinom ³

$F(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ $T_1$ tulajdonságai elsőfokú polinomokra:

• $T_1(x_0)=f(x_0)$
• ${T_1}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$

n-ed fokú Taylor polinom ⁴

$T_n(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$ $T_n(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$ Állítás Ez a $T_n(x)$ teljesíti a feltételeket. Sőt, nincs más ezen kívül.

Példa

$f(x)=e^x{x}_0=0$ $T_3(x)=?$

Lagrange-féle maradéktag

$L_n(x):=f(x)-T_n(x)$

Tétel

Tegyük fel, hogy $f$ $(n+1)$-szer differenciálható. Ekkor $\forall x$-hez $\exists \xi$ ami $x$ és $x_0$ közötti. $L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1{)}^{\prime }}(x-x_0{)}^{n+1}$

Riemann tétel

Tegyük fel, hogy $(\sum a_n)$ feltételesen konvergens. Ekkor $\forall c\in \mathbb{R}$ számra VAN átalakítás, amire $\text{o¨sszeg}=c$.

Footnotes

1. Analízis 1. Jegyzet: 53. oldal ↩

2. Analízis 1. Jegyzet: 53. oldal ↩

3. Analízis 1. Jegyzet: 182. oldal ↩

4. Analízis 1. Jegyzet: 183. oldal ↩