11, 12 - Differenciálegyenletek

Egyenlet

Jelölés: $f(x)=e^x\Rightarrow f^{\prime }(x)=e^x$ $y=f(x)y^{\prime }=e^x$ $y=y(x)y^{\prime }=y$ Példa: $g(x)=e^{ax}(a\ne 0)g^{\prime }(x)=a\cdot e^{ax}$ $y^{\prime }=ayy=y(x)=?$ Állítás: Tegyük fel, hogy van olyan $y=y(x)$, amire $y^{\prime }=ay$

Differenciálegyenlet (DE) ¹

Olyan egyenlet (=összefüggés), amely

• megoldása egy függvény,
• szerepel benne az ismeretlen deriváltja

Legegyszerűbb differenciálegyenlet: $y^{\prime }=f(x)\Rightarrow y=\int f(x)dx$ Itt $f$ adott függvény.

Általános megoldás ²

• mindig van benne paraméter, ezért végtelen sok függvényt jelent Például: $y^{\prime }=2x\Rightarrow y=x^2+c(c\in \mathbb{R})$

Partikuláris megoldás ²

Amikor egy konkrét megoldást keresünk.

Differenciálegyenlet jellemzői ³

• Két betű ($x$: független változó; $y$: függő változó)
• Rendje: a DE-ben az ismeretlen függvény legmagasabb deriváltjának a száma
  • Elsőrendű DE: $y^{\prime }=ay$
  • Másodrendű DE: $y^{\prime \prime }+y=0(\Rightarrow y_1=\sin (x)y_2=cos(x))$
  • …

Elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja ³

$y^{\prime }=f(x,y)$ Ahol $f(x,y)$ adott kétváltozós függvény.

Cauchy feladat / Kezdetiérték feladat ³

A megoldás egy intervallumon értelmezett differenciálható függvény: $y:I\to \mathbb{R}$,

• differenciálható az $I\subset \mathbb{R}$ intervallumon $y^{\prime }(x)=f(x,y(x))\forall x\in I$

Szeparábilis / szétválasztható differenciálegyenlet ⁴

Szeparábilis differenciálegyenlet amennyiben az egyenlet jobb oldalán lévő $f(x,y)$ függvényben az $x$ és az $y$ a következőképpen szétválasztható: $y^{\prime }=f(x,y)=\frac{\alpha (x)}{\beta (y)}\beta (y)\ne 0.$ Itt $\alpha$ és $\beta$ adott függvények.

Lineáris differenciálegyenlet (LDE)

Ha a differenciálegyenlet jobboldalán szereplő $f(x,y)$ lineáris $y$-ra. $y^{\prime }=f(x,y)=a(x)y+b(x)$ Itt $a(x)$ és $b(x)$ adott függvények.

Homogén lineáris differenciálegyenlet

Ha $b(x)=0$. $y^{\prime }=ay$ $y(x)=c{e}^{A(x)}C\in \mathbb{R};A^{\prime }(x)=a(x)$

Állítás

Ha $y_1$ és $y_2$ növekvő, akkor a homogén lineáris differenciálegyenlet $Z=\alpha Y_1+\beta Y_2$ is növekvő.

Tétel

$y^{\prime }=a(x)y$ egyenlet megoldása vektortér. Ez a vektortér 1D-s.

Inhomogén lineáris differenciálegyenlet

Ha $b(x)\ne 0$. $y^{\prime }=ay+ba(x);b(x)$ $y(x)=u{e}^{A(x)}u=u(x)$ Például: $y^{\prime }=3y+e^x$

Állandók variálása (módszer)

1. Lépés: Homogén általános megoldása ($y_{\acute{a}ltal\acute{a}nos}$)
2. Lépés: Inhomogén partikuláris megoldása ($y_p$)
3. Inhomogén általános megoldása: $y_{i}h=y_p+y_{\acute{a}ltal\acute{a}nos}$
4. • Kezdeti feltétel

Footnotes

1. Analízis 1. Jegyzet 164. oldal ↩

2. Analízis 1. Jegyzet 165. oldal ↩ ↩²

3. Analízis 1. Jegyzet 166. oldal ↩ ↩² ↩³

4. Analízis 1. Jegyzet 169. oldal ↩