Rendőr elv

Rendőrelv (sorozat)

Tegyük fel, hogy az $(x_n)$ és $(y_n)$ sorozatok egy $N_0$ indextől kezdve közrefognak egy harmadik sorozatot. $x_n\le z_n\le y_n\forall n\ge N_0$ Tegyük fel azt is, hogy $(x_n)$ és $(y_n)$ konvergens sorozatok határértéke ${\lim }_{n\to \infty }x={\lim }_{n\to \infty }y=z$ Ekkor $(z_n)$ is konvergens. ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=z$

Bizonyítás

Legyen $\epsilon >0$ tetszőleges. Ekkor $\exists N_1$ és $\exists N_2$, melyekre $|x_n-z|<\epsilon \text{ha}n\ge N_1$ $|y_n-z|<\epsilon \text{ha}n\ge N_2$ Ekkor $n\ge \max (N_0,N_1,N_2)$ esetén $z-\epsilon <x_n\le z_n\le y_n<z+\epsilon ,$ amiből a konvergencia következik.

Rendőrelv (függvény)

Adottak az $f,g,h$ függvények. Tegyük fel, hogy $x_0$ egy $U$ környezetében teljesül, hogy $f(x)<g(x)<h(x)x\in U,x\ne x_0.$ Tegyük fel azt is, hogy a két szélső függvénynek van határértéke, és azok megegyeznek. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{x\to x_0}h(x)=\alpha .$ Ekkor a középső függvénynek van határértéke, és az megegyezik a szélső függvények határértékével. ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=\alpha .$

Bizonyítás

todo