11 - Hármas integrál

Koordináta transzformáció Jacobi mátrixa

Összes lehetséges derivált egy mátrixban. $J(u,v)=({\varphi }_u^{\prime },{\varphi }_v^{\prime };{\psi }_u^{\prime },{\psi }_v^{\prime })$

Jacobi determináns

$D(u,v)=\det J(u,v)$

Általános helyettesítés

$(x,y)\leftrightarrow (u,v)$ $x=\varphi (u,v)$ $y=\psi (u,v)$ Tétel Tegyük fel, $f:R\to \mathbb{R}$ differenciálható, $R\subset R^2$, tegyük fel, a Jacobi deriváltja nem egylő $0$-val. $R^{\prime }=\left\{\right(\varphi (u,v),\psi (u,v))\in R\}$ Ekkor: $\int {\int }_{R}f(x,y)dxdy=\int {\int }_{R^{\prime }}f(\varphi ,\psi )D(u,v)dudv$

Behelyettesítés polár koordinátába

$\exists (r,\theta )=(\cos \theta ,-r\sin \theta ;\sin \theta ,r\cos \theta )$ $D(r,\theta )=r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r$

Hármas integrál

Kiszámolása téglatest tartományon

Gömbi polár koordináták

Kiszámolása normáltartományon