2a

Témakörök:

• Háromszög egyenlőtlenség (Bizonyítás)
• Bernoulli egyenlőtlenség
• Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség

Felépítés:

• Háromszög egyenlőtlenség
• Bizonyítás
• Bernuolli egyenlőtlenség
• Számtani közép
• Mértani közép
• A közöttük lévő egyenlőtlenség

Háromszög egyenlőtlenség

Háromszög egyenlőtlenség

Tetszőleges $a,b\in \mathbb{R}$ számokra: $|a+b|\le |a|+|b|$

Bizonyítás

$\pm a\le |a|,\pm b\le |b|$ Ebből következik, hogy: $a+b\le |a|+|b|$ $-a-b\le |a|+|b|$

Általános megfogalmazás

$|a_1+a_2+\dots +a_n|=\left|{\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k\right|\le {\sum }_{k=1}^{\infty }|a_k|$

Hivatkozás az eredetire

Bernuolli egyenlőtlenség

Bernuolli egyenlőtlenség

$\forall n\in \mathbb{N}$ és $\forall h\ge -1$ valós szám esetén: $(1+h{)}^n\ge 1+hn.$

Hivatkozás az eredetire

Számtani közép

Számtani közép

$A=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{a}_k$

Hivatkozás az eredetire

Mértani közép

Mértani közép

$G=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n}=\sqrt[n]{{\prod }_{k=1}^n{a}_k}$

Hivatkozás az eredetire

A közöttük lévő egyenlőtlenség

Összefüggés közöttük

$A\ge G$

Bizonyítás

Hivatkozás az eredetire