01 - Valós számok bevezetése

Számhalmazok¹

$\mathbb{N}$: természetes számok halmaza

• jele: $\mathbb{N}$ (az angol “natural” szóból ered)
• Legkisebb eleme az $1$
• Minden elem után van következő

Teljes indukció (bizonyítási elv)

Legyen $A_n$ valamilyen állítás minden $n$ természetes számra. Ha:

1. $A_1$ teljesül
2. Tegyük fel, minden $n$-re igaz lesz. (Indukciós feltétel)
3. $A_{n+1}$ mindig igaz $A_{n+1}$ teljesülése esetén, akkor a fenti $A_n$ tulajdonság teljesül minden $n$-re.

Természetes számok halmazának bővítése

• összeadás: Nem vezet ki a természetes számok halmazából
• kivonás: Kivezet a természetes számok halmazából $\to$ Egész számok halmaza

$\mathbb{Z}$: egész számok halmaza

• jele: $\mathbb{Z}$ (“zahl” szóból ered)

Egész számok halmazának bővítése

• szorzás: Kivezet az egész számok halmazából $\to$ Valós számok halmaza
• osztás: Kivezet az egész számok halmazából $\to$ Valós számok halmaza

$\mathbb{R}$: Valós számok halmaza

• jele: $\mathbb{R}$
• minden valós szám kifejezhető két egész szám osztásával

Axiómák

• Alaptulajdonságok

Kvantorok

• ∀: minden
• ∃: létezik
• ∃!: egyértelműen létezik (csak $1$ létezik)

Asszociativitás

Jelentése: csoportosíthatóság. Például: $(x+y)+z=x+(y+z)$.

• összeadás
• szorzás

Kommutativitás

Jelentése: felcserélhetőség. Például: $x+y=y+x$.

• összeadás
• szorzás

Disztributivitás

Jelentése: műveletek összekapcsolódása.

Például: $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$.

Műveleti alaptulajdonságok

1. Az összeadás asszociatív
2. $x+0=x\forall x\in \mathbb{R}$
3. $\forall x\in \mathbb{R}$ van $\exists u\in \mathbb{R}$ tartozik $x+u=0$. Ez az $x$ szám ellentettje.
4. Az összeadás kommutatív
5. A szorzás asszociatív
6. $x\cdot 1=x$
7. $\forall x\in \mathbb{R},x\ne 0$ tartozik $\exists u\in \mathbb{R}$, melyre $u=1/x$. Ez a szám reciproka.
8. A szorzás kommutatív
9. A szorzás disztributív az összeadásra

Rendezési reláció tulajdonságai

10. $\forall x\in \mathbb{R}$ esetén $x\le x$ (a rendezési reláció reflexív)
11. $\forall x\ne y$ esetén az $x\le y$ és $y\le x$ közül pontosan egy igaz.
12. Ha $x\le y$ és $y\le z$ ⇒ $x\le y$ (a rendezési reláció tranzitív)
13. Ha $x\le y$ ⇒ $x+z\le y+z$
14. Ha $x\le y$ és $0\le z$ ⇒ $x\cdot z\le y\cdot z$
15. Arcimedeszi axióma: Nincs nagyobb elem
16. Cantor-féle axióma

Cantor-féle axióma

Legyen adott korlátos és zárt intervallumok egy sorozata: $I_1=[a_1,b_1],I_2=[a_2,b_2],\dots ,$ melyek egymásba skatyujázottak: $I_1\supseteq I_2\supseteq \dots$ akkor az intervallumoknak van közös pontja.

Más szóval: $\exists c\in \mathbb{R}$ melyre $c\in I_k,\forall k\in \mathbb{N}$

Irracionális számok beletartoznak a racionális számok halmazába

A Cantor-axiómát átértelmezve vesszük a “bal oldalt” és a “jobb oldalt”. $a_1\le a_2\le a_n\text{eˊs}{b}_1\ge b_2\ge b_n$. Ezekre teljesülnek, hogy: $a_n\le b_n\forall n\in \mathbb{N}.$ Ekkor: $a_n\le c\le b_n\forall n\in \mathbb{N}.$

Bizonyítás (Indirekt módon)

A Cantor-axióma azt mondja ki, hogy létezik közös pont. Tegyük fel, két közös pont létezik, és $c,d\in I_n\forall nc<d.$ Legyen $\epsilon =d-c$. Ekkor létezik $n\in \mathbb{N}$, amire $b_n-a_n<\epsilon$. Ekkor mivel $c\in [a_n,b_n],d\in [a_n,b_n],$ ezért $\epsilon =d-c\le b_n-a_n<\epsilon$, ami ellentmondás.

Summa

${\sum }_{fut\acute{o}index}^{meddig}tag$

Példák

• Első $n$ szám összege ${\sum }_{k=1}^{n}k$
• Első $n$ páros szám összege ${\sum }_{k=1}^{n}2k$
• Hárommal osztható kétjegyű számok összege ${\sum }_{k=4}^{33}3k$
• Száz és kétszáz közötti (nyílt intervallum) természetes számok reciprokainak az összege ${\sum }_{k=101}^{199}\frac{1}{k}$

Produktum

Röviden a summa működése összeadás helyett szorzással. ${\prod }_{fut\acute{o}index}^{meddig}tag$

Korlátosság ²

Legyen $H\subset \mathbb{R}$ halmaz a valós számoknak részhalmaza.

Alulról korlátos,

ha $\exists k\in \mathbb{R}$(ez lesz az alsó korlát), amire $k\le x\forall x\in H$.

Felülről korlátos

ha $\exists K\in \mathbb{R}$ (ez lesz a felső korlát), amire $K\ge x\forall x\in H$.

Korlátos,

ha a halmaz alulról és felülről is korlátos. (Van alsó és felső korlátja is)

Supremum

A halmaz legkisebb felső korlátja.

Jele: $\sup (H)$.

Kapcsolata a maximummal

Ha a $H$ halmaznak az elemei közül van legnagyobb, akkor az a supremuma. $\sup (H)=\max (H)$

Infimum

A halmaz legnagyobb alsó korlátja.

Jele: $\inf (H)$.

Kapcsolata a minimummal

Ha a $H$ halmaznak az elemei közül van legkisebb, akkor az az infimuma. $\inf (H)=\min (H)$

Ekvivalens

Azonos.

Környezet

Egy x₀ valós szám Környezetei az $(x_0-\epsilon ;x_0+\epsilon )$ nyílt intervallumok, ahol $\epsilon >0$ tetszőleges valós szám.

Belső pont

Az $x_0\in R$ pont a H halmaz belső pontja, ha $\exists \epsilon >0$. Amin $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\subseteq H$. Jele: $\text{int}(H)$ (az angol “interior” szóból).

Külső pont

Az $x_0\in R$ pont a H halmaz belső pontja, ha $\exists \epsilon >0$. Amin $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\cap H=\varnothing$. Jele: $\text{ext}(H)$ (az angol “exterior” szóból).

Határpont

Az $x_0\in R$ pont a H halmaz határpontja, ha $\exists \epsilon >0$. Ha a környezet tartalmaz H-n belüli (Belső pont) és H-n (Külső pont) kívüli pontokat is.

Jele: $\delta (H)$

• A halmaz nyílt, ha minden pontja belső pont
• A halmaz zárt ha $\delta H\subseteq H$
• A H halmaz lezárása $\overline{H}=H\cup \delta H$

Footnotes

1. Analízis 1. Jegyzet: 2. oldal ↩

2. Analízis 1. Jegyzet: 11. oldal ↩