11a

Témakörök:

• Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata (Bizonyítás)

Felépítés

• Folyonosság
• Differenciálhatóság
• Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Folytonosság

![[04 - Függvények 2.#Folytonosság [ 1]]

Differenciálhatóság

Differenciálhányados

Tekintsük az $f$ függvény $a$ pontjában lévő differenciahányadosának az $a$-hoz tartó határértékét. Ezt a számot hívjuk differenciálhányadosnak. Amennyiben ez a szám létezik, a függvény $a$ pontban deriválható. ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{f-a}=f^{\prime }(a)$

Geometriai jelentés

Az $f$ függvény adott $x$ pontjába felírható érintő meredekségét adja meg.

Hivatkozás az eredetire

Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Tétel

Ha $f$ differenciálható $x_0$-ban, akkor ott folytonos is.

Bizonyítás

Mivel ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0),$ ezért ha $|x-x_0|$ elegendően kicsi, akkor $\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|<K\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<K|x-x_0|,$ ebből következik a sorozatfolytonosság.