03 - Számsorozatok 2. és Függvények 1.

Konvergens ¹

Ha tart valahova és a határértéke nem $\infty$ és nem $-\infty$.

$|a_n-A|<\epsilon$, $\forall n>N$.

Másként leírva ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A$

Divergens ¹

Ha nem konvergens.

Típusai

• $+\infty$-be divergál, ha ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=+\infty$ (minden határon túl nő)
• $-\infty$-be divergál, ha ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=-\infty$
• a sorozat több pont körül torlódik (például $a_n=(-1{)}^n$)

[[#Konvergens [ 1|Konvergencia]] és a [[02 - Számsorozatok 1.#Számsorozat korlátossága [ 1]|korlátosság]] kapcsolata

1. Adott sorozat monoton növő és felülről korlátos $\Rightarrow$ konvergens
2. monoton csökkenő és alulról korlátos $\Rightarrow$ konvergens
3. Bolzano-Weierstrass tétel: Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítás

Tekintsünk egy $(a_n)$ korlátos sorozatot. A minden sorozatnak van monoton részsorozata (2.1) tétel szerint van $(a_{n_k})$ monoton részsorozata, amely szintén korlátos. Ezért a részsorozat konvergens is.

Számsorozat határértéke ¹

Konyhanyelven: arra vagyunk kíváncsiak, hogy az $n$ növelésével mi történik az $a_n$ számokkal.

Azt mondjuk, hogy az $(a_n)$ sorozat konvergens, és határértéke az $A$ szám, ha ez rendelkezik a következő tulajdonsággal: $\forall \epsilon >0$-hoz létezik egy $\epsilon$-tól függő $N\in \mathbb{N}$ küszöbindex, melyre $|a_n-A|<\epsilon \forall n\ge N.$ Ezt így jelöljük: ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A.$

Euler féle szám

$e={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$

Rekurzív sorozat ²

Olyan sorozat aminek a képletében hivatkozunk egy a sorozat másik elemére.

Torlódási pont

$t$ akkor torlódási pontja a sorozatnak, ha a $t$ pont környezetében a sor végtelen sok eleme található meg. Vagyis a $(t-\epsilon ;t+\epsilon )$ intervallumon belül ($\epsilon >0$), végtelen sok eleme van a sornak. ³

Tétel

Ha az $(a_n)$ sorozat [[#Konvergens [ 1]|konvergens]], akkor egyetlen torlódási pontja van, ami egyben a határértéke is.

Függvények

X, Y halmazok ⁴

Adott két halmaz ($X,Y$) ezek között fennáll egy $f:X\to Y$ leképezés. $x\in X$ hozzárendelünk egyetlen y elemet az Y halmazból. Ezt így jelöljük: $f(x)=y$ $x\to y$

Injektív ⁴

Ha $f(x_1)\ne f(x_2)$ bármilyen $x_1,x_2\in X$ esetén (“Nincs két azonos y”).

Szürjektív ⁴

Ha minden $y\in Y$-hoz létezik x, amely $f(x)=y$. (“Nincs két azonos x”)

Bijektív ⁵

Ha a függvény [[03 - Számsorozatok 2. és Függvények 1.#Injektív [ 4]|injektív]], és [[03 - Számsorozatok 2. és Függvények 1.#Szürjektív [ 4]|szürjektív]] is, ilyenkor a függvény kölcsönösen egyértelmű az X és Y halmazok között.

Inverz függvény

Ha a függvény [[03 - Számsorozatok 2. és Függvények 1.#Bijektív [ 5]|bijektív]] (kölcsönösen egyértelmű), akkor létezik inverz függvénye: $f^{-1}:Y\to X$ melyre: $f^{-1}(f(x))=x$ $f^{-1}(f(y))=y$

Összetett függvény ⁵

Adott két függvény. Ezek $f:X\to Y$ és $g:Y\to Z$. Az összetett függvény $X\to Z$ típusú hozzárendelés, vagyis $g(f(x))$.

Értelmezési tartomány ⁴

Jele: D_f (az angol DOMAIN szóból)

Értékkészlet ⁴

$\forall y\in Y$ amely megjelenik képként, vagyis $D_f=\{y\in Y:\exists x\in X,f(x)=y\}$ Jele: R_f (az angol RANGE szóból)

Függvény gráfja ⁵

$\{x,f(x):x\in D\}\subset R^2$

Footnotes

1. Analízis 1. Jegyzet: 27. oldal ↩ ↩² ↩³

2. Analízis 1. Jegyzet: 33. oldal ↩

3. Analízis 1. Jegyzet: 44. oldal ↩

4. Analízis 1. Jegyzet: 64. oldal ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵

5. Analízis 1. Jegyzet: 65. oldal ↩ ↩² ↩³