5a

Témakörök:

• Rész-sorozat
• Monoton rész-sorozat
• Bolzano-Weierstrass tétel (Bizonyítás)

Felépítés

• Sorozat definíciója
• Rész-sorozat definíciója
• Monotonitás definíciója
• Monoton rész-sorozat
• Bolzano-Weierstrass tétel
• Bizonyítás

Sorozat definíciója

![[02 - Számsorozatok 1.#Számsorozat (sorozat) [ 1]]

Rész-sorozat definíciója

![[02 - Számsorozatok 1.#Rész-sorozat (index-sorozat) [ 2]]

Monotonitás definíciója

Monotonitás

Monoton csökkenő

Sorozatok esetében: $a_n\ge a_{n+1}\forall n\in \mathbb{N}$ Függvények esetében: $f(x)\ge f(x+1)\forall x\in D_f$

Monoton növekvő

Sorozatok esetében: $a_n\le a_{n+1}\forall n\in \mathbb{N}$ Függvények esetében: $f(x)\le f(x+1)\forall x\in D_f$

Szigorúan monoton csökkenő

Sorozatok esetében: $a_n>a_{n+1}\forall n\in \mathbb{N}$ Függvények esetében: $f(x)>f(x+1)\forall x\in D_f$

Monoton növekvő

Sorozatok esetében: $a_n<a_{n+1}\forall n\in \mathbb{N}$ Függvények esetében: $f(x)<f(x+1)\forall x\in D_f$

Hivatkozás az eredetire

Monoton rész-sorozat

Olyan ($(a_{n_k})$) monoton sorozat, amely egy másik sorozatnak a részsorozata.

Tétel

Minden sorozatnak van monoton részsorozata.

Bolzano-Weierstrass tétel

![[03 - Számsorozatok 2. és Függvények 1.#Konvergens [ 1 Konvergencia és a 02 - Számsorozatok 1. Számsorozat korlátossága [ 1] korlátosság kapcsolata]]