9a

Témakörök:

• Rendőr elv függvény határértéke (Bizonyítás)
• Átviteli elv

Felépítés

• Határérték definíciója
• Rendőr elv
• Rendőr elv függvény határértéke
• Bizonyítás
• Átviteli elv

Határérték definíciója

![[04 - Függvények 2.#Függvény határérték [ 3]]

Rendőr elv

Rendőrelv (függvény)

Adottak az $f,g,h$ függvények. Tegyük fel, hogy $x_0$ egy $U$ környezetében teljesül, hogy $f(x)<g(x)<h(x)x\in U,x\ne x_0.$ Tegyük fel azt is, hogy a két szélső függvénynek van határértéke, és azok megegyeznek. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{x\to x_0}h(x)=\alpha .$ Ekkor a középső függvénynek van határértéke, és az megegyezik a szélső függvények határértékével. ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=\alpha .$

Bizonyítás

todo

Hivatkozás az eredetire

Átviteli elv

Függvény határérték és sorozat határérték közötti kapcsolat.

1.

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\alpha$ akkor és csak akkor, ha minden $(x_n)\subset D_f$ sorozatra, melyre $\lim x_n=x_0{x}_n\ne x_0$ teljesül, hogy ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=\alpha$.

2.

${\lim }_{x\to x_0+}f(x)=\alpha$ akkor és csak akkor ha minden $(x_n)\subset D_f$ sorozatra, melyre $x_n>x_0{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0$ teljesül, hogy ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=\alpha$.

3.

${\lim }_{x\to x_0-}f(x)=\alpha$ akkor és csak akkor ha minden $(x_n)\subset D_f$ sorozatra, melyre $x_n<x_0{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0$ teljesül, hogy ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=\alpha$.