02

Valószínűség axiómái

A valószínűség az $Ω$ részhalmazain értelmezett függvény.

$A$ esemény $\subset Ω 0 \leq P (A) \leq 1$
$P (Ω) = 1 P (\emptyset) = 0$
Legyenek $A_{i - k}$ egymást kizáró események, ekkor $P (\sum A_{i}) = P (A_{1} + A_{2} + \dots A_{k}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots P (A_{k})$

Tétel ₁

Legyen $A \subset Ω$ esemény és $P (A) J$ Ekkor: $P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$ Bizonyítás: $A + \overset{ˉ}{A} = Ω$ $P (A + \overset{ˉ}{A}) = Ω$ $1 = P (Ω) = P (A + \overset{ˉ}{A}) = P (\overset{ˉ}{A}) + P (A)$ Következmény: $P (\emptyset) = P (\overset{ˉ}{Ω}) = 1 - P (Ω) = 0$

Tétel ₂

Legyen $A$ és $B$ tetszőleges események. Ekkor: $P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$ Bizonyítás: $P (A + B) = P (A + B \overset{ˉ}{A}) = P (A) + P (B \overset{ˉ}{A})$ $P (B) = P (A B + \overset{ˉ}{A} B) = P (A B) + P (\overset{ˉ}{A} B)$

Tétel ₃

$A$ és $B$ tetszőleges események. $P (B - A) = P (B) - P (A B)$ Bizonyítás: $P (B) = P (B Ω) = P (B A + B \overset{ˉ}{A}) = P (B A) + P (B \overset{ˉ}{A})$ $P (B A) + P (B - A)$

Tétel ₄

Legyen $A_{1}; A_{2}; \dots; A_{n}$ tetszőleges események. $P (A_{1} + A_{2} + \dots + A_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) - \sum_{i_{1} < i_{2}} P (A_{i_{1}} A_{i_{2}}) + \sum_{i_{1} < i_{2} < i_{3}} P (A_{i_{1}} A_{i_{2}} A_{i_{3}}) + \dots$

(váltakozó előjel a szumma előtt)

Tétel ₅

Legyen $B \subset A \Rightarrow P (B) \leq P (A)$ $A$ bekövetkezése maga után vonja $B$ bekövetkezését. $A \subset B$

$P (A + B) = P (B)$

$P (A B) = P (A)$

$P (A - B) = P (\emptyset) = 0$

$P (\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B}) = 1 - P (B)$

Tétel ₆

Ha egy kísérletben $n$ különböző elemi esemény állhat elő, és minden elemi esemény ( $A_{1}; \dots; A_{n}$ ), és $\forall$ elemi esemény valószínűsége azonos, akkor ha a $B$ esemény k-szor következik be. $P (B) = \frac{k}{n}$ Az eseménytért klasszikus valószínűségű mezőnek nevezzük.

Példa

Valódi 4 jegyű szám. Mennyi a valószínűsége, hogy 4 különböző számból áll. $P (B) = \frac{kedvez o ˝}{o ¨ sszes} = \frac{9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{9 \cdot 1 0 ^{3}}$

Példa

Valódi 4 jegyű szám. Mennyi a valószínűsége, hogy van benne $1$ ? $P (C) = 1 - P (\overset{ˉ}{C}) = 1 - \frac{8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}{9 \cdot 1 0 ^{3}}$

Példa

Visszatevéses mintavétellel kiválasztunk 6 terméket. 80 jó, 20 selejt. Mekkora a valószínűsége, hogy

első 4 termék selejtes, a többi jó? $\overset{o}{¨} = 10 0^{6}$ $k = 2 0^{4} \cdot 8 0^{2}$ $P (A) = \frac{2 0 ^{2} \cdot 8 0 ^{2}}{10 0 ^{6}}$

Pontosan 4 selejtes van? $P (B) = (5 6) \frac{2 0 ^{2} \cdot 8 0 ^{2}}{10 0 ^{6}}$

Példa

Visszatevés nélküli mintavétellel kiválasztunk 6 terméket. 80 jó, 20 selejt. Mekkora a valószínűsége, hogy

4 selejt $P (A) = \frac{( 4 20 ) ( 2 80 )}{( 6 10 )}$

Feltételes valószínűség

Legyen $A$ és $B$ két tetszőleges esemény. Az $A$ eseménynek a $B$ -re vonatkozó feltételes valószínűsége $P (A ∣ B)$ . $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} P (B) \neq = 0$

Példa

3 dobókockát feldobunk. Feltéve, hogy legalább 6-ost dobunk, mi a valószínűsége, hogy 3 hatos lesz? $B$ esemény: legalább 2 hatos $A$ esemény: 3 hatos $P (B) = \frac{16}{6 ^{3}} = \frac{16}{216}$ $P (A B) = \frac{1}{216} H \overset{a}{ˊ} ny f \overset{e}{ˊ} le k \overset{e}{ˊ} ppen tudunk 3 hatost dobni$ $P (A ∣ B) = \frac{\frac{1}{216}}{\frac{16}{216}} = \frac{1}{16}$

Példa

Valakinek 2 gyereke van. Mekkora az esélye, hogy mindkettő fiú? $P (FF) = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$

Valakinek 2 gyereke van. Mekkora az esélye, hogy mindkettő fiú, ha az egyikről tudjuk, hogy fiú? $P (FF ∣ F) = \frac{P ( FF )}{P ( F )} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

Tétel ₇

A feltételes valószínűség kielégíti a valószínűség axiómáit.

$0 \leq P (A ∣ B) \leq 1 A B \subset B$

Ha $B \subset A$ , akkor $A ∣ B$

Legyen $A_{1}; A_{n}$ páronként kizáró, és $P (A_{1} + A_{2} + \dots + A_{n} ∣ B) = \frac{P (( A _{1} + A _{2} + \dots + A _{3} ) B )}{P ( B )}$

Feltételes valószínűség következménye

Szorzási szabály

$P (A B) = P (A ∣ B) \cdot P (B)$ $P (B A) = P (B ∣ A) \cdot P (A)$ Ezért: $P (A ∣ B) P (B) = P (B ∣ A) P (A)$

Tétel ₈

Szorzási szabály általános alakja

$P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{2} A_{1}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} A_{2} \dots A_{n - 1})$

Példa

8 piros, 5 zöld, 3 kék Visszatevés nélkül 3-t húzúnk. Mennyi a valószínűsége, ha elsőre pirosat, másodikra kéket, harmadikra zöldet húzunk?

$A$ : elsőre pirosat

$B$ : másodikra kéket

$C$ : harmadikra zöldet

$P (A BC) = P (C ∣ A B) P (B ∣ A) P (A) = \frac{5}{14} \frac{3}{15} \frac{5}{14}$ $P (A) = \frac{8}{16}$ $P (B ∣ A) = \frac{3}{15}$ $P (C ∣ A B) = \frac{5}{14}$

Tétel ₉

Teljes valószínűség tétel

Legyen $B_{1}; \dots; B_{n}$ teljes eseményrendszer, és $A \subset Ω$ tetszőleges esemény. $P (B_{i}) \neq = 0 \forall i i = 1 \dots n$ Ekkor: $P (A) = P (A ∣ B_{1}) P (B_{1}) + P (A ∣ B_{2}) P (B_{2}) + \dots + P (A ∣ B_{n}) P (B_{n})$ Bizonyítás: $A B_{1}; A B_{2}; \dots; A B_{n}$ egymást kizáró események

~kekkr

Fájlböngésző

02

Valószínűség axiómái

Feltételes valószínűség

Szorzási szabály

Szorzási szabály általános alakja

Teljes valószínűség tétel

Grafikonnézet

Visszautalások