02 - Számsorozatok 1.

Háromszög egyenlőtlenség

Tetszőleges $a,b\in \mathbb{R}$ számokra: $|a+b|\le |a|+|b|$

Bizonyítás

$\pm a\le |a|,\pm b\le |b|$ Ebből következik, hogy: $a+b\le |a|+|b|$ $-a-b\le |a|+|b|$

Általános megfogalmazás

$|a_1+a_2+\dots +a_n|=\left|{\sum }_{k=1}^{\infty }{a}_k\right|\le {\sum }_{k=1}^{\infty }|a_k|$

Bernuolli egyenlőtlenség

$\forall n\in \mathbb{N}$ és $\forall h\ge -1$ valós szám esetén: $(1+h{)}^n\ge 1+hn.$

Számtani és mértani közép

Számtani közép

$A=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{a}_k$

Mértani közép

$G=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n}=\sqrt[n]{{\prod }_{k=1}^n{a}_k}$

Összefüggés közöttük

$A\ge G$

Bizonyítás

Számsorozat (sorozat) ¹

Egy olyan hozzárendelés, melyben $\forall n\in \mathbb{N}$ természetes számhoz hozzárendelünk egy valós számot. Az $(a)$ sorozat $n$-edik elemét $a_n$, az egész sorozatot pedig $(a_n)$-nel jelöljük.

Számsorozat korlátossága ¹

Az $(a_n)$ sorozat korlátos ha $\exists K$ szám, hogy $|a_n|<K\forall n\in \mathbb{N}$.

Rész-sorozat (index-sorozat) ²

Adott az $(a_n)$ sorozat. Egy rész-sorozatot úgy definiálunk, hogy minden $k\in \mathbb{N}$ számhoz hozzárendelünk egy $n_k$-val jelölt indexet, melyekre igaz hogy szigorúan monoton növekvőek.

A részsorozat elemei $a_{n1},a_{n2},a_{n3},\dots$ lesznek.

Footnotes

1. Analízis 1. Jegyzet: 24. oldal ↩ ↩²

2. Analízis 1. Jegyzet: 34. oldal ↩