2 - Hatványsor

Tegyük fel, hogy $f(a,b)\to \mathbb{R}$ $x_0$ körül végtelen sokszor differenciálható Taylor sor $T(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{f^{(x)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$

Állítás

$\sin (x)={\sum }_{k=0}^{\infty }(-1{)}^{k+1}\frac{x^2+1}{(2k+1)!}$

$f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}x\ne 0$ $f(x)=0x=0$

Tétel

Tegyük fel, hogy $\exists K$, ami $|f^{(k)}(x)|\le k\forall k,\forall x\in (a,b)$.

Hatványsor ¹

Legyen $(c_n)$ szám sorozat $(c_n)\subset \mathbb{R}$, és $x_0\in \mathbb{R}$. Ezekből hatványsort alkothatunk a következőképpen: ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(x-x_0{)}^n$

Példa

$x_0=0$ $c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\dots +c_n{x}^n$

Konvergencia tartomány / Konvergencia Halmaz ²

• $\mathcal{H}$ halmaz jelentése: ahol $(c_n)$ konvergens. $\mathcal{H}=\{x;{\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_n{x}^n<\infty \}$ Lehetséges esetei:
• $\mathcal{H}=\{0\}$ (például $c_n{=}^n$)
• $\mathcal{H}=\mathbb{R}$ (például $c_n=\frac{1}{n}$)
• $\mathcal{H}=[(-\rho ,\rho )]$ ($0$ középpontú intervallum)

Konvergencia sugár ($\rho$) ³

$\rho$ meghatározása. ${\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_n{x}^n\approx {\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$

Tegyük fel, hogy létezik $\gamma ={\lim }_{n\to \infty }|\frac{c_{n+1}}{c_n}|$. Ha

• $\gamma |x|<1$, akkor $c_n$ konvengens
• $\gamma |x|>1$, akkor $c_n$ divergens

Footnotes

1. Analízis 2. Jegyzet: 6. oldal ↩

2. Analízis 2. Jegyzet: 6. oldal ↩

3. Analízis 2. Jegyzet: 9. oldal ↩