12b

Témakörök:

• Inverz függvény deriváltja
• Példa: $f(x)=\ln (x)$ deriváltja (Bizonyítás)

Felépítés

• Inverz függvény
• Deriválás
• Inverz függvény deriváltja
• $f(x)=ln(x)$ deriváltja
• Bizonyítás

Inverz függvény

Inverz függvény

Ha a függvény [[03 - Számsorozatok 2. és Függvények 1.#Bijektív [ 5]|bijektív]] (kölcsönösen egyértelmű), akkor létezik inverz függvénye: $f^{-1}:Y\to X$ melyre: $f^{-1}(f(x))=x$ $f^{-1}(f(y))=y$

Hivatkozás az eredetire

Deriválás / Differenciálhányados

Differenciálhányados

Tekintsük az $f$ függvény $a$ pontjában lévő differenciahányadosának az $a$-hoz tartó határértékét. Ezt a számot hívjuk differenciálhányadosnak. Amennyiben ez a szám létezik, a függvény $a$ pontban deriválható. ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{f-a}=f^{\prime }(a)$

Geometriai jelentés

Az $f$ függvény adott $x$ pontjába felírható érintő meredekségét adja meg.

Hivatkozás az eredetire

Inverz függvény deriváltja

Tegyük fel, hogy $f$ szigorúan monoton, differenciálható függvény, melyre $f^{\prime }(x)\ne 0$, $x\in D_f$ mellett. Ekkor $f^{-1}$ is differenciálható, és $(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}$