5b

Témakörök:

• Határérték monotonitása
• Rendőrelv (Bizonyítás)
• Nevezetes sorozat határértékek (Például racionális törtek)

Felépítés

• Határérték definíciója
• Határérték monotonitása
• Rendőr-elv
• Bizonyítás
• Nevezetes sorozat határértékektodo

Határérték definíciója

![[03 - Számsorozatok 2. és Függvények 1.#Számsorozat határértéke [ 1]]

Határérték monotonitása

Legyenek $f:D_f\to \mathbb{R}$ és $g:D_g\to \mathbb{R}$ adott függvények, melyeknek létezik határértéke az $x_0$ pontban. Tegyük fel, hogy az $x_0$ pont valamely $U$ környerzetében ($U=(x_0-\epsilon ;x_0+\epsilon )$) igaz, hogy $f(x)\le g(x)\text{vagy}f(x)<g(x)\forall x\in U\backslash \{x_0\}.$ Ekkor ${\lim }_{x\to x_0}f(x)\le {\lim }_{x\to x_0}g(x).$

Megjegyzés

$\le$ $\Rightarrow$ A két határérték összeérhet.

Rendőr-elv

Rendőrelv (sorozat)

Tegyük fel, hogy az $(x_n)$ és $(y_n)$ sorozatok egy $N_0$ indextől kezdve közrefognak egy harmadik sorozatot. $x_n\le z_n\le y_n\forall n\ge N_0$ Tegyük fel azt is, hogy $(x_n)$ és $(y_n)$ konvergens sorozatok határértéke ${\lim }_{n\to \infty }x={\lim }_{n\to \infty }y=z$ Ekkor $(z_n)$ is konvergens. ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=z$

Bizonyítás

Legyen $\epsilon >0$ tetszőleges. Ekkor $\exists N_1$ és $\exists N_2$, melyekre $|x_n-z|<\epsilon \text{ha}n\ge N_1$ $|y_n-z|<\epsilon \text{ha}n\ge N_2$ Ekkor $n\ge \max (N_0,N_1,N_2)$ esetén $z-\epsilon <x_n\le z_n\le y_n<z+\epsilon ,$ amiből a konvergencia következik.

Hivatkozás az eredetire