7 - Érintősík

Kisordó

$\epsilon (x)$ függvény kisordó, ha $x=a$-ban, ha ${\lim }_{x\to 0}\frac{\epsilon (x)}{x}=0.$ Jelölés: $\epsilon (x)=\sigma (x)$

Teljesen differenciálható

$f:S\to \mathbb{R}(x,y)\in \text{int}{D}_f$ függvény teljesen differenciálható, ha $\exists A,B,C$ számok, amelyre $f(x+\Delta x,y+\Delta y)=A\Delta x+B\Delta y+c+\sigma \left(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\right)$

Állítás

Ha $f$ differenciálható $(x,y)$-ban, akkor $C=f(x,y)$ $A=f_x^{\prime }(x,y)$ $B=f_y^{\prime }(x,y)$

Bizonyítás

1. eset $\Delta x=\Delta y=0$ $f(x+\Delta x,y+\Delta y)=A\Delta x+B\Delta y+c+\sigma \left(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\right)\Rightarrow$ $\Rightarrow f(x,y)=0+0+c+\sigma (o)$
2. eset $\Delta y=0$ $f(x+\Delta x,y+\Delta y)=A\Delta x+B\Delta y+c+\sigma \left(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\right)\Rightarrow$ $\Rightarrow f(x+\Delta x,y)=A\Delta x+0+f(x,y)+\sigma (\Delta x)$

Gradiáns (gradiens)

Ha $f$ differenciálható $(x,y)$-ban, akkor a derivált $\text{grad}f(f_x^{\prime },f_y^{\prime }).$ Jele: $\text{grad}f=\nabla f.$

Derivált függvény

$\text{grad}S\to {\mathbb{R}}^2$

Következmény

Ha $f$ differenciálható, akkor folytonos.

Bizonyítás ${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y)$

Hesse mátrix

Tegyük fel, hogy $f_x^{\prime }$ és $f_y^{\prime }$ léteznek $(x_0,y_0)$ egy környezetében, és ott differenciálható. Ekkor a második derivált olyan mátrix, ami H=(f_x''x\quad f_x''y;\quad_y''x\quad f_y''y;)=(\text{grad}(f'_x); \text{grad}(f'_y);)

Irány menti derivált

Adott $\alpha \in [0,2\pi )$. $\alpha$ irány menti derivált, ha $D_{\alpha }f(x_0,y_0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+h\cos \alpha ,y_0+h\sin \alpha )-f(x_0,y_0)}{h}$

Állítás

Ha $f$ differenciálható, akkor $\forall \alpha$ mellett $\exists D_{\alpha }f$, és $D_{\alpha }f(x_0,y_0)=⟨\text{grad}f,(\cos \alpha ,\sin \alpha )⟩=f_x^{\prime }(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y^{\prime }(x_0,y_0)+f^{\prime }y(x_0,y_0)\sin \alpha$

Irány

Következmény

Ha $f$ differenciálható, akkor $\forall v\in {\mathbb{R}}^2$

Érintősík egyenlete

$z-z_0=f_x^{\prime }(P_0)(x-x_0)+f_y^{\prime }(P_0)(y-y_0)$ $z_0=f(P_0)$