1a

Témakörök:

• Természetes számok
• Teljes indukció
• Valós számok bevezetése
• Cantor axióma és Cantor féle közös-pont tétel (Bizonyítás)

Felépítés:

• Halmaz fogalma
• Természetes számok halmaza
• Teljes indukció
• Egész számok halmaza
• Valós számok halmaza
• Axióma jelentése
• Cantor-féle axióma
• Cantor féle közös-pont tételtodo
• Bizonyítástodo

Halmaz fogalma

Halmazok

A halmaz és a halmazhoz tartozás fogalmát szemléletből fogadjuk el. Ha egy dolog valamely halmazhoz tartozik, akkor azt mondjuk, hogy eleme ennek a halmaznak. Jelekkel: $a\in H$, $a\notin H$.¹

Adott halmaz

Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha minden dologról egyértelműen eldönthető hogy eleme e.

Footnotes

1. Kidolgozott Emelet Matek Tételek (2023) 11. oldal ↩

Hivatkozás az eredetire

Természetes számok halmaza & teljes indukció

![[01 - Valós számok bevezetése#-mathbbn-természetes-számok-halmaza|$mathbbN$ természetes számok halmaza]]

Egész számok halmaza

![[01 - Valós számok bevezetése#-mathbbz-egész-számok-halmaza|$mathbbZ$ egész számok halmaza]]

Valós számok halmaza

![[01 - Valós számok bevezetése#-mathbbr-valós-számok-halmaza|$mathbbR$ Valós számok halmaza]]

Axióma jelentése

Axiómák

• Alaptulajdonságok

Kvantorok

• ∀: minden
• ∃: létezik
• ∃!: egyértelműen létezik (csak $1$ létezik)

Asszociativitás

Jelentése: csoportosíthatóság. Például: $(x+y)+z=x+(y+z)$.

• összeadás
• szorzás

Kommutativitás

Jelentése: felcserélhetőség. Például: $x+y=y+x$.

• összeadás
• szorzás

Disztributivitás

Jelentése: műveletek összekapcsolódása.

Például: $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$.

Műveleti alaptulajdonságok

1. Az összeadás asszociatív
2. $x+0=x\forall x\in \mathbb{R}$
3. $\forall x\in \mathbb{R}$ van $\exists u\in \mathbb{R}$ tartozik $x+u=0$. Ez az $x$ szám ellentettje.
4. Az összeadás kommutatív
5. A szorzás asszociatív
6. $x\cdot 1=x$
7. $\forall x\in \mathbb{R},x\ne 0$ tartozik $\exists u\in \mathbb{R}$, melyre $u=1/x$. Ez a szám reciproka.
8. A szorzás kommutatív
9. A szorzás disztributív az összeadásra

Rendezési reláció tulajdonságai

10. $\forall x\in \mathbb{R}$ esetén $x\le x$ (a rendezési reláció reflexív)
11. $\forall x\ne y$ esetén az $x\le y$ és $y\le x$ közül pontosan egy igaz.
12. Ha $x\le y$ és $y\le z$ ⇒ $x\le y$ (a rendezési reláció tranzitív)
13. Ha $x\le y$ ⇒ $x+z\le y+z$
14. Ha $x\le y$ és $0\le z$ ⇒ $x\cdot z\le y\cdot z$
15. Arcimedeszi axióma: Nincs nagyobb elem
16. Cantor-féle axióma

Cantor-féle axióma

Legyen adott korlátos és zárt intervallumok egy sorozata: $I_1=[a_1,b_1],I_2=[a_2,b_2],\dots ,$ melyek egymásba skatyujázottak: $I_1\supseteq I_2\supseteq \dots$ akkor az intervallumoknak van közös pontja.

Más szóval: $\exists c\in \mathbb{R}$ melyre $c\in I_k,\forall k\in \mathbb{N}$

Irracionális számok beletartoznak a racionális számok halmazába

A Cantor-axiómát átértelmezve vesszük a “bal oldalt” és a “jobb oldalt”. $a_1\le a_2\le a_n\text{eˊs}{b}_1\ge b_2\ge b_n$. Ezekre teljesülnek, hogy: $a_n\le b_n\forall n\in \mathbb{N}.$ Ekkor: $a_n\le c\le b_n\forall n\in \mathbb{N}.$

Bizonyítás (Indirekt módon)

A Cantor-axióma azt mondja ki, hogy létezik közös pont. Tegyük fel, két közös pont létezik, és $c,d\in I_n\forall nc<d.$ Legyen $\epsilon =d-c$. Ekkor létezik $n\in \mathbb{N}$, amire $b_n-a_n<\epsilon$. Ekkor mivel $c\in [a_n,b_n],d\in [a_n,b_n],$ ezért $\epsilon =d-c\le b_n-a_n<\epsilon$, ami ellentmondás.

Hivatkozás az eredetire

Cantor-féle axióma

Cantor-féle axióma

Legyen adott korlátos és zárt intervallumok egy sorozata: $I_1=[a_1,b_1],I_2=[a_2,b_2],\dots ,$ melyek egymásba skatyujázottak: $I_1\supseteq I_2\supseteq \dots$ akkor az intervallumoknak van közös pontja.

Más szóval: $\exists c\in \mathbb{R}$ melyre $c\in I_k,\forall k\in \mathbb{N}$

Irracionális számok beletartoznak a racionális számok halmazába

A Cantor-axiómát átértelmezve vesszük a “bal oldalt” és a “jobb oldalt”. $a_1\le a_2\le a_n\text{eˊs}{b}_1\ge b_2\ge b_n$. Ezekre teljesülnek, hogy: $a_n\le b_n\forall n\in \mathbb{N}.$ Ekkor: $a_n\le c\le b_n\forall n\in \mathbb{N}.$

Bizonyítás (Indirekt módon)

A Cantor-axióma azt mondja ki, hogy létezik közös pont. Tegyük fel, két közös pont létezik, és $c,d\in I_n\forall nc<d.$ Legyen $\epsilon =d-c$. Ekkor létezik $n\in \mathbb{N}$, amire $b_n-a_n<\epsilon$. Ekkor mivel $c\in [a_n,b_n],d\in [a_n,b_n],$ ezért $\epsilon =d-c\le b_n-a_n<\epsilon$, ami ellentmondás.

Hivatkozás az eredetire