04

Példa. Feldobunk egy pénzérmét. $k$ jelentése hányadik az első fej. $ξ = 2^{k}$ $P (ξ = 2^{k}) = (\frac{1}{2})^{k - 1} \cdot (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{k}$ $E (ξ) = 2^{1} \cdot \frac{1}{2} + 2^{2} (\frac{1}{2})^{2} + \dots = \sum_{i = 1}^{\infty} 2^{i} (\frac{1}{2})^{i} = \infty$

Állítás

A várható érték lineáris.

Legyen $a \in R$ $E (a ξ) = E (\sum_{i = 1}^{a} a x_{i} p_{i}) = E (a \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i}) = a E (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i})$

Állítás

Transzformáció $η := a ξ + b$ $E (\sum_{i = 1}^{n} y_{i} q_{i}) = E (η) = E (a ξ + b) = E (\sum_{i = 1}^{n} (a x_{i} + b)) =$ $E (a \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i} + b \sum_{i = 1}^{n} p_{i}) = a E (ξ) + b$

Szórás

Szórás négyzet: $D^{2} (ξ) = E (ξ - E (ξ))^{2}$ Variancia: $D^{2} (ξ) = E (ξ^{2} - 2 ξ E (ξ) + E^{2} (ξ)) = E (ξ^{2}) - 2 E (ξ) E (ξ) + E^{2} (ξ)$ Szórás: $D (ξ) = D^{2} (ξ)$

Állítás

Transzformáció: $η = a ξ + b$ $D^{2} (ξ) = D^{2} (a ξ + b) = E ((a ξ + b)^{2}) - E^{2} (a ξ + b) =$ $E (a^{2} ξ^{2} + 2 ab ξ + b^{2}) - E^{2} (a ξ + b) =$ $a^{2} E (ξ^{2}) + 2 ab E (ξ) + b^{2} - [a^{2} E^{2} (ξ) + 2 ab E (ξ) + b^{2}] =$ $a^{2} E^{2} (ξ) = a^{2} D^{2} (ξ)$

Feldobunk egy szabályos dobókockát. A kapott érték legyen $x$ . $x \cdot 3 - 1$ $E (ξ) = 3.5 E (3 ξ - 1) = 3 E (ξ) - 1 = 9.5$

Bernoulli probléma

Egy kísérletnek két eseménye van. Teljesül, vagy nem teljesül.

Binomiális eloszlás:

Egy kísérletet $n$ -szer végzünk el. A $ξ$ valószínűségi változó legyen a sikeres kísérletek száma. A sikeres kísérletek valószínűségét jelöljük $p$ -vel. Ebben az esetben a $ξ \forall\forall B (n, p)$ paraméterű binomiális eloszlás-ú, $P (ξ = k) = (k n) p^{k} ((1 - p)^{n - k})$ Várható érték: $E (ξ) = n P$ Szórás: $D (ξ) = n p (1 - p)$
Hivatkozás az eredetire

Egymás után $ξ$ szer dobunk hatos dobókockával. Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan kétszer dobunk hatost? $p = \frac{1}{6}$ $P (ξ = 2) = (2 6) (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{4}$ $P (ξ \leq 4) = 1 - P (ξ > 4) = 1 - P (ξ = 5) - P (ξ = 6)$ $D (ξ) = 6 \frac{1}{6} \frac{5}{6} = \frac{30}{6}$

Hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli mintavétel)

Tekintsünk $m$ darab elemet, amiből $s$ darab megkülönböztetett. Találomra kiválasztunk $n$ darabot. A $ξ$ valószínűségi változó jelentse a megkülönböztetett elemek számát. Ekkor $ξ$ hipergeometriai eloszlású. $P (ξ = k) = \frac{( k s ) ( n - k m - s )}{( n m )} k = 0, 1, \dots, n$ Várható érték: $E (ξ) = n \frac{s}{m}$ Szórás: $D (ξ) = n p (1 - p) (1 - \frac{n - 1}{m - 1})$

Példa

Egy áruháznak 80 TV-je van. 30 darab A+ és 50 darab B besorolású. Kiválasztunk 5-öt.

Mekkora a valószínűsége, hogy 2 darab A+ besorolásút választanak ki? $P (ξ = 2) = \frac{( 2 30 ) ( 3 50 )}{( 5 80 )}$

Mekkora a valószínűsége, hogy több mint a fele a A+ besorolású lesz? $P (ξ \leq 3)$

Geometriai eloszlás

Tegyük fel, hogy addig végezzük a kísérletet, amíg nem sikerül. A $ξ$ valószínűségi változó jelentse, hogy hányadikra volt jó a kimenetel. A jó valószínűsége $p$ . $P (ξ = k) = (1 - p)^{k - 1} \cdot p$ Várható érték: $E (x) = \frac{1}{p}$ Szórás: $D (ξ) = \frac{1 - p}{p ^{2}}$

Példa

Valaki minden nap telefonál egy műsorba. $p = 0.1$

Mekkora az esélye, hogy a 10. napra bejut a játékba? $P (ξ = 10) = 0. 9^{9} \cdot 0.1$

Mekkora az esélye, hogy legalább 7. kell telefonálnia? $P (ξ \geq 7)$

Mi a telefonálások számának a várható értéke? $E (x) = \frac{1}{0.1}$

Negatív binomiális eloszlás

$A$ esemény bekövetkezésének valószínűsége $p$ . Addig csinálom, amíg $n$ -szer be nem következik. A $ξ$ az $n$ -edik bekövetkezést jelöli. $P (ξ = n + k) = (\frac{n + k - 1}{n - 1}) (1 - p)^{k} p^{n}$ Várható érték: ** $E (ξ) = n \frac{1}{p}$ Szórás: $D (ξ) = n \frac{1 - p}{p ^{2}}$

Példa

Két ember játszik. $0.6$ az esély, hogy nyer.

Mi a valószínűsége, hogy 10 nap múlva 3. szorra nyer? $P (10 < ξ) = 1 - (P (0-t nyer) + P (1-t nyer) + P (nyer)) =$ $1 - [0. 4^{1} 0 + (1 10) 0. 4^{9} \cdot 0. 6^{1} + (2 10) 0. 4^{8} \cdot 0. 6^{2}]$

Poisson eloszlás

A $ξ$ valószínűségi változó Poisson eloszlású $λ$ paraméterrel, ha $ξ = {0, 1, \dots}$ lehetséges értékeinek ( $ξ \geq$ ) eloszlása $P (ξ = k) = \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}$ Várható érték: $E (ξ) = λ$ Szórás: $D^{2} (ξ) = λ$

Ez szórás négyzet, nem maga a szórás.

Példa

2 óra alatt egy autó sem megy át az átjárón: $0.0498$ .

Mekkora a valószínűsége, hogy 2 óra alatt 8 autó halad át az átjárón? $P (ξ = 0) = \frac{λ ^{0}}{0 !} e^{- λ} = 0.0498 λ = - ln 0.0498 = 3$ $P (ξ = 8) = \frac{3 ^{8}}{8 !} e^{- 3}$

~kekkr

Fájlböngésző

04

Szórás

Bernoulli probléma

Binomiális eloszlás:

Hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli mintavétel)

Geometriai eloszlás

Negatív binomiális eloszlás

Poisson eloszlás

Grafikonnézet

Visszautalások