3 - Összegfüggvény

Összegfüggvény ¹

$f:\mathcal{H}\to \mathbb{R}$ összegfüggvény, ahol $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^{n}x\in \mathcal{H}$ tulajdonságai:

• $\mathcal{H}$ belsejében folytonos (nem triviális a végtelen összeg miatt).
• $\mathcal{H}$ belsejében (akárhányszor) differenciálható (nem triviális). $f^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_n\cdot n{x}^{n-1}\text{(Az o¨sszeget tagonkeˊnt derivaˊljuk)}$ $f^{(k)}(x)={\sum }_{n=k}^{\infty }{c}_n\cdot (nk+1)x^{n-k}$
• $[\alpha ,\beta ]\subset \text{int}(\mathcal{H})$ $\Rightarrow$ $f$ Riemann-integrálható ${\int }_{\alpha }^{\beta }f(x)dx=[c_n\frac{x^{n+1}}{n+1}{]}_{\alpha }^{\beta }$

Hatványsor és Taylor sor kapcsolata ²

Tegyük fel $f(x)$ egy környezetében (összegfüggvény) $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n$ valamilyen $(c_n)$ sorozatra. Ekkor:

1. Ez egyértelmű reprezentáció
2. Ha (1) $\Rightarrow$ $c_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ Ekkor az együtthatók: $c_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.$
3. Ha $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(x-x_0{)}^n{x}_0$ egy környezetében (hatványsor). Ekkor az együtthatók: $c_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.$

Analitikus függvény

$f$ analitikus függvény $x_0$-ban ha $\exists$ környezete $x_0$-ban, amire $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(x-x_0{)}^n.$ Más szóval: $f$ függvény analitikus egy $x_0$ pontban, ha annak a környezetében van hatványsora.

Zárt alak

todo

Trigonometrikus polinom ³

Szinuszokból és koszinuszokból képzünk polinomokat. $\sin (nx)\cos (mx)n,m\in \mathbb{N}$ $f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n(a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx))x\in \mathbb{R}$

Trigonometrikus sor ⁴

Adottak az $a_0,a_1,a_2,\dots ,b_0,b_1,b_2,\dots \in \mathbb{R}$ együtthatók. $f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^{\infty }(a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx))x\in \mathbb{R}$

Könnyebb megjegyzés

A trigonometrikus polinom képlete ugyan az mint a trigonometrikus soré, csak a szumma a végtelenbe tart.

Trigonometrikus függvény rendszer ⁵

\Phi_0(x)=1$$$$\Phi_1(x)=sin(x)\quad\phi_2(x)=cos(x) ${\Phi }_{2k-1}(x)=sin(kx){\varphi }_{2k}(x)=cos(kx)$

Lemma (ortogonalitás)

${\int }_{-\pi }^{\pi }{\Phi }_n(x){\Phi }_m(x)dx=$ $\{0,\text{ha }n\ne m;2\pi \text{ ha }n=m=0;\pi \text{ ha }n=m\ne 0\}$

Állítás

$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^n(a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx))$ Ekkor: $a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (kx)dxk=0,1,\dots ,n$ $b_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (kx)dxk=1,2,\dots ,n$

Fourier sor ⁶

Tegyük fel, hogy $f$ egy trigonometrikus polinom. $f\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{k=1}^{\infty }(a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx)),$ ahol $a_k$ és $b_k$ Fourier együtthatók. Ekkor: $a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (kx)dx,k=0,1,2,\dots ,N$ $b_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (kx)dc,k=1,2,3,\dots ,N$

Speciális esetek

• Ha $f$ függvény páros $b_k=0\forall k\in \mathbb{N}$
• Ha $f$ függvény páratlan, $a_k=0\forall k\in \mathbb{N}$

Footnotes

1. Analízis 2. Jegyzet: 6. oldal ↩

2. Analízis 2. Jegyzet: 12. oldal ↩

3. Analízis 2. Jegyzet: 14. oldal ↩

4. Analízis 2. Jegyzet: 14. oldal ↩

5. Analízis 2. Jegyzet: 15. oldal ↩

6. Analízis 2. Jegyzet: 16. oldal ↩