10 - Integrálás 3.

Integrálfüggvény ¹

Legyen $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ integrálható függvény. Ekkor az $f$ függvény integrálfüggvényét így definiáljuk: $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ Állítás:

• $F$ folytonos $[a,b]$-n,
• Ha $f$ folytonos az $x_0\in (a,b)$ pont egy környezetében, akkor $x_0$-ban $F$ differenciálható, és
• $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$ $\frac{d}{dx}({\int }_a^{x}f(t)dt)$

Bizonyítás

[[09 - Integrálás 2.#Integrálközép [ 2]|Integrálközép]] alapján.

Lokálisan integrálható ²

Az $f$ függvény lokálisan integrálható $I$-ben, ha minden $[a,b]\subset I$ korlátos és zárt intervallum esetén $f{|}_{[a,b]}$ integrálható. Ezt így jelöljük: $f\in {\mathbb{R}}^{\text{loc}}(I).$

Improprius integrál ³

Valami nem stimmel, nem proper.

$f$ inpropriusan integrálható, ha $\exists A(t)=I$ ${\int }_a^{\infty }f(x)dx={\lim }_{t\to \infty }{\int }_a^{\infty }f(x)dx$ Ha $f:(-\infty ,a]\to \mathbb{R}$, akkor ${\int }_{-\infty }^{a}f(x)dx={\lim }_{t\to -\infty }B(t)$

1. eset

2. eset

$R_f$ végtelen.

Majoráns kritérium ⁴

Adottak $f,g:[a,\infty )\to \mathbb{R}$ lokálisan integrálható függvények. Tegyük fel, $0\le |f(x)|\le g(x)\forall x\in [a,\infty ).$ ${\int }_a^{\infty }g(x)dx<\infty \Rightarrow {\int }_a^{\infty }f(x)dx<\infty$

Minoráns kritérium ⁴

Adottak $f,g:(\alpha ,\beta )\to \mathbb{R}$ függvények. Tegyük fel, hogy $f(x)\le g(x)\forall x\in (\alpha ,\beta )$. ${\int }_{\alpha }^{\beta }f(x)dx=\infty \Rightarrow {\int }_{\alpha }^{\beta }g(x)dx=\infty$

Footnotes

1. Analízis 1. Jegyzet 147. oldal ↩

2. Analízis 1. Jegyzet 150. oldal ↩

3. Analízis 1. Jegyzet 149. oldal ↩

4. Analízis 1. Jegyzet 154. oldal ↩ ↩²