09 - Integrálás 2.

Határozott integrál

Számtani közép

$A=\frac{{\sum }_{k=1}^n{a}_k}{n}=\frac{{\sum }_{k=1}^n{a}_k}{{\sum }_{k=1}^{n}1}$

Integrálközép ¹

Jele: $\kappa \text{(kappa)}$

Adott $f:[a,b]\to R$ integrálható függvénynek az integrálközepe $\kappa$ szám, ha $\kappa =\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}.$

Állítás:

Tegyük fel, $m\le f(x)\le M\forall x$. Ekkor $m\le \kappa \le M$.

Következmény:

Tegyük fel, $f$ folytonos. Ekkor $\exists \epsilon \in (a,b)f(\epsilon )=\kappa$.

Parciális integrálás ²

Legyenek $f,g:[a,b]\to R$, integrálható függvények.

Határozatlan integrálás

$\int f^{\prime }(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime }(x)dx$

Határozott integrálás

${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx=[f(x)g(x){]}_a^b-{\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx$

Helyettesítés ³

${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(\varphi )d\varphi$ Informálisan: $d\varphi (t)={\varphi }^{\prime }(t)dt$

Helyettesítés integrálban ³

$f:[a,b]\to R$ integrálható

$\varphi :[\alpha ,\beta ]\to [a,b]$ differenciálható, szigorúan monoton

Ekkor: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)dt$

Lokálisan integrálható

$A(t)={\int }_1^t\frac{1}{x^2}=\left[\frac{x^{-1}}{-1}\right]=\frac{t^{-1}}{-1}-\frac{1}{-1}=1-\frac{1}{t}$

${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx=1$

Footnotes

1. Analízis 1. Jegyzet 141. oldal ↩

2. Analízis 1. Jegyzet 142. oldal ↩

3. Analízis 1. Jegyzet 146. oldal ↩ ↩²