01

Elemi esemény

Valamely kísérlet konkrét kimenetelét elemi eseménynek nevezzük.

Esemény tér

Az elemi események összességét esemény térnek nevezzük. Jele: $\Omega$ $\Omega =\{i,F\}=\{1,2,3,4,5,6\}$

Esemény

Az esemény tér valamelyik részhalmaza.

Lehetetlen esemény

Az olyan esemény, ami sohasem következik be, lehetetlen eseménynek hívjuk.

• Jele: $\varnothing$ $\varnothing =\{\}$

Két esemény összege

$A+B$ akkor és csak akkor következik be, ha legalább az egyik bekövetkezik.

• Unió analógiája

Következmény

Bármely nem lehetetlen esemény előáll elemi események összegeként.

Két esemény szorzata

Akkor és csak akkor következik be, ha mindkettő bekövetkezik.

• Metszet analógiája
• Jele: $A\cdot B$

Két esemény egymást kizáró

Két esemény egymást kizáró, ha szorzatuk lehetetlen esemény. $A\cdot B=\varnothing$

Teljes eseményrendszer

Az $A_1;A_2;\dots ;A_n$ eseményrendszer teljes eseményrendszer, ha

1. páronként kizáró, tehát $A_i\cdot A_j=\varnothing \text{, ha }i\ne j$
2. összegük biztos esemény ${\sum }_{i=1}^n{A}_i=\Omega$

Példa: Hat oldalú kocka

1. $A_1$ párost dobok
2. $A_2$ páratlant dobok, akkor teljes eseményrendszerről beszélünk.

Esemény komplementere

Az $A$ esemény komplementere akkor és csak akkor következik be, ha $A$ nem.

• Jele: $\overline{A}$

Következmény

$A+\overline{A}=\Omega$ $A\cdot \overline{A}=\varnothing$ $\overline{\Omega }=\varnothing$ $\overline{\varnothing }=\Omega$

Különbség esemény

Az $A\backslash B$ esemény akkor és csak akkor következik be, ha $A$ bekövetkezik és $B$ nem.

• halmazkülönbség analógiája

A része B-nek

$A\subset B$ az $A$ bekövetkezése maga után vonja $B$ bekövetkezését. Ha $A$ bekövetkezik, akkor ebből következik, hogy $B$ is bekövetkezik.

Műveletek

• $A+A=A$
• $A\cdot A=A$
• $A+B=B+A$
• $A\cdot B=B\cdot A$
• $A+(B+C)=(A+B)+C$
• $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$
• $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$
• $A+B\cdot C=(A+B)(A+C)$
• $\overline{(A+B)}=\overline{A}+\overline{B}$
• $\overline{A}+A=\Omega$
• $A\cdot \varnothing =\varnothing$
• $A+\varnothing =A$
• $A+\Omega =\Omega$
• $A\cdot \Omega =A$
• $A\cdot \overline{A}=\varnothing$

Gyakoriság

$k$-szor következett be $A$.

• Relatív gyakoriság $k$-szor következett be $n$-db kísérletből. $\frac{k}{n}$

Valószínűség

Az $A$ esemény bekövetkezésének valószínűsége $0\le P(A)\le 1$, ha $A$ az $\Omega$-nak (esemény tér) valamely részhalmazán értelmezett. Ekkor a $P$ egy függvény a következő tulajdonságokkal:

1. $\forall \in \Omega 0\le P(A)\le 1$
2. $P(\Omega )=1P(\varnothing )=0$
3. egymást kizáró $A_i$-re $P({\sum }_{i=1}^n{A}_i)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)$ $A$ esemény valószínűsége: $P(A)$

Kombinatorika

Permutáció

$N$ darab különböző elem sorba rendezése.

• számít a sorrend $n!$

Példa: tornasor

Ismétléses permutáció

Példa: matematika betűk sorba rendezése

Azonos betűk: 2 m, 2 t, 3 a, tehát $\frac{10!}{3_a!2_m!2_t!}$

Variáció

$n$ elemből $k$ darabot sorrendbe állítok

• nem számít a sorrend $\frac{n!}{(n-k)!}$

Példa: sportverseny top 3

Ismétléses variáció

Példa: TOTO

Kombináció

• nem számít a sorrend $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Ismétléses kombináció

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k}\right)$

Tételek

1. Tétel

Ha egy kísérletnek pontosan n darab kimenetele van, akkor az összes lehetséges esemény száma $2^n$.