6 - Kétváltozós függvények 2.

Racionális törtfüggvény

Polinomok hányadosa $\frac{{\text{polinom}}_1(x,y)}{{\text{polinom}}_2(x,y)}$

Példa

$h(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$

$f$ folytonos

$f$ kétváltozós függvény folytonos $S$ tartományban, ha $\forall (x,y)\in S$-ben folytonos.

Bolzano tétel

Ha $S$ összefüggő, akkor $\forall P,P^{\prime }\in S$ pontok esetén $A=f(P)<f(P^{\prime })=B$ $\forall C$ számra $A<C<B\exists (x_0,y_0)\in Sf(x_0,y_0)=C$

Vonal a síkon

$\Gamma \subset {\mathbb{R}}^2$ vonal, ha $\exists \gamma [\alpha ,\beta ]\to {\mathbb{R}}^2$ $\Gamma =\{\gamma (t):t\in [\alpha ,\beta ]\}$

Folytonos vonal

Folytonos vonal, ha $\gamma$ folytonos $\gamma (t)=(x(t),y(t))$

Koordináta függvény

Két koordináta függvény $x,y:[\alpha ,\beta ]\to \mathbb{R}$

$S\subset {\mathbb{R}}^2$ összefüggő

$S\subset {\mathbb{R}}^2$ összefüggő, ha $\forall P,P^{\prime }\in S$-ben $\exists \Gamma$ sima $\gamma (x)=P$ $\gamma (\beta )=P^{\prime }$

Weierstrass 1. tétele

Tegyük fel, hogy $S$ korlátos és zárt. $f:S\to \mathbb{R}$ folytonos. Ekkor $f$ korlátos. ($\equiv R_f$ korlátos)

Weierstrass 2. tétele

Tegyük fel, hogy $S$ korlátos és zárt. $f:S\to \mathbb{R}$ folytonos. Ekkor létezik a minimum és maximum pont az értelmezési tartományon.

Differenciálható

$f:S\to \mathbb{R}$, $S\subset {\mathbb{R}}^2$ differenciálható $(x_0,y_0)\in \text{int}S$ pontban, ha $\exists {\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)}{(x,y)-(x_0,y_0)}$

Parciális deriválás

$f:S\to \mathbb{R}(x_0,y_0)\in \text{int}S$

$x$ szerinti parciális derivált

$\exists {\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y)}{x_0-x_0}.$ Jelölése: $f^{\prime }x(x_0,y_0)=\frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0)$

$y$ szerinti parciális derivált

$\exists {\lim }_{y\to y_0}\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0}.$ Jelölése: $f^{\prime }y(x_0,y_0)=\frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0)$

Metszetfüggvények

todo

Másodrendű parciális derivált

todo

---

todo

• Sorozatfolytonosság 
• Folytonosság tartományban 
• Vonal