5 - Kétváltozós függvények 1.

Folytonosság (két változós függvény)

$f:S\to \mathbb{R},(x_0;y_0)\in S$ folytonos $(x_0;y_0)$-ban, ha $\forall \epsilon >0\exists \delta >0.$

Sorozatfolytonosság (két változós függvény)

$\forall P_n=(x_n;y_n)$ sorozatra: ${\lim }_{n\to \infty }f(P_n)=f(P_0)$

Állítás

$f$ sorozatfolytonos $p_0$-ban ekvivalens azzal, hogy folytonos.

Határérték

$f:S\to \mathbb{R}$ függvénynek $(x_0,y_0)$-ban torlódási pontja van, ha ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_1)}f(x,y)=LL\in \mathbb{R}$ $\forall \epsilon >0\exists \delta >0,\text{melyre ha}$ $0<||(x,y)-(x_0,y_0)||<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon$

Következmény

Ha $(x_0,y_0)\in \text{int}S$, akkor a folytonosság ekvivalens a következővel: ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$

Állítás

Az átviteli elv itt is érvényes.

Torlódási pont

todo